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    Les Démonstrations

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    KikoO

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    Les Démonstrations

    Message  KikoO le Dim 1 Nov - 15:37

    I) Une démonstration, c'est quoi ?
    Les grecs antiques sont souvent considérés comme les inventeurs de la démonstration. Ils seraient les premiers à avoir systématiquement démontré - ou essayé de démontré - leurs théorèmes. Car avant eux, les mathématiques étaient un groupement d'affirmation dont on sentait bien qu'elles étaient vraies. Les grecs ont voulu justifier ce « on sent bien que ».
    De fait, une théorie mathématique se compose aujourd'hui de trois choses. D'abord les définitions, qui déterminent les objets auxquels on va s'intéresser. Puis les axiomes, qui donnent les propriétés basiques des objets définis. Car en effet, on ne peut faire de démonstration que si on a quelques affirmations de base... Par exemple, le fait que par un point donné il ne passe qu'une droite de direction donnée est un axiome de la géométrie euclidienne . C'est une affirmation qu'on pose comme étant vraie, qui sera à la base de toute la théorie. Ayant les définitions et les axiomes, on peut alors construire les troisièmes éléments de la théorie : les théorèmes. Un théorème est un énoncé qui est vrai, mais avec un statut différent des axiomes : il n'est pas posé comme vrai mais il est une conséquence des axiomes. Et c'est ici que la démonstration acquiert un statut important : c'est grâce à elle qu'on peut être sûr que le théorème découle bien des axiomes !
    De fait, une démonstration est un enchaînement d'idées, d'affirmations, qui sont chacune vraies. On doit pouvoir déduire chacune des affirmations des précédentes, soit en utilisant des axiomes soit en utilisant un autre théorème dont on sait déjà qu'il est vrai (il a déjà une démonstration). En général, la démonstration d'un théorème se déroule ainsi : on commence par supposer vraies les hypothèses, puis on déroule les affirmations jusqu'à obtenir celles qu'on voulait en conclusion. Un exemple sur ce site est la
    démonstration du théorème de Pythagore.
    Cependant tout n'est pas toujours aussi simple : une telle suite d'affirmations peut être difficile à trouver. Heureusement, on dispose de quelques « variantes » pour démontrer. Voici les principales.

    II) Démonstration par disjonction des cas
    Certaines propriétés qui s'appliquent à un ensemble d'objets ne peuvent être démontrées d'un seul coup pour tous les objets. Alors on sépare l'ensemble des objets en plusieurs sous-ensembles, qu'on choisit de manière à pouvoir démontrer la propriété pour chaque sous-ensemble. Alors on a démontré la propriété pour tout l'ensemble. Exemple : démontrer que pour tout entier n, n3 - n est pair.
    Ceci ne se démontre pas directement. Alors on sépare les cas où n est pair et où n est impair.
    n3 - n = n (n² - 1) = n(n + 1)(n - 1)
    Donc si n est pair, alors le produit est pair (car l'un des facteurs est n). Si n est impair, alors n + 1 est pair donc le produit est pair. Comme n est forcément pair ou impair et que la propriété est montrée dans les deux cas, alors elle est montrée pour tout n.

    III) Démonstration par contraposition
    Soit P et Q deux affirmations. Alors l'affirmation « si P est vraie, alors Q est vraie » est équivalente à l'affirmation « si Q est fausse, alors P est fausse » (il est simple de vérifier : soit P la phrase « il pleut » et Q « il y a des nuages ». On a bien « si il pleut, alors il y a des nuages » et « s'il n'y a aucun nuage alors il ne pleut pas »).
    Cela peut servir pour certaines démonstrations qu'il est difficile à faire dans un sens, mais qu'on peut très bien faire en contraposant. Par exemple, montrons que si n2 pair, alors n est pair.
    Prenons un entier n impair. Alors n = 2k + 1 où k est un entier (c'est la définition d'un nombre impair). Donc n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2K + 1 où K = 2k2 + 2k est entier. donc n2 est impair. On a montré que si n est impair, alors n2 est impair. Donc, en contraposant, si n2 est pair alors n est pair.
    Notons que cette démonstration se fait aussi par disjonction des cas : on a montré que si n est impair, alors n2 est impair. On peut montrer aussi simplement que si n est pair alors n2 est pair. Comme on a fait tous les cas possibles, on en déduit que pour que n2 soit pair, il faut que n soit pair.

    IV) Démonstration par l'absurde
    C'est la plus subtile. Pour démontrer qu'une propriété est vraie, on peut montrer que son inverse est fausse grâce à l'absurde. On considère l'ensemble des propriétés mathématiques déjà établies et donc vraies. On ajoute à ces propriétés une hypothèse, qui est l'inverse de ce qu'on veut démontrer. Par exemple, pour démontrer qu'un nombre est pair, on va supposer qu'il est impair. Alors on suit un raisonnement logique jusqu'à obtenir une contradiction. C'est-à-dire qu'on démontre par un raisonnement logique deux propriétés qui se contredisent (par exemple, on démontre qu'un certain nombre introduit dans la démonstration est positif, puis on démontre qu'il est négatif). Si on arrive à une telle contradiction alors que le raisonnement est juste, c'est que les bases sur lesquelles on était parti sont fausses. Or ces bases ne contenaient que des propriétés déjà vraies ainsi que l'inverse de ce qu'on veut démontrer. C'est donc forcément que l'inverse de ce qu'on veut démontrer était faux, donc que ce qu'on veut démontrer est vrai. Un exemple de démonstration par l'absurde est
    l'irrationalité de racine (2).
    V) Démonstration par récurrence (on dit parfois induction, par anglicisme)
    Cette démonstration ne peut être effectuée que pour des propriétés portant sur des entiers. Elle comporte deux étapes. D'abord on montre que la propriété est vraie pour un certain entier a. Généralement, on prend a = 0 ou 1 si les propriétés sont vraies pour tout entier naturel. Mais on peut avoir à démontrer des propriétés vraies seulement à partir de 5, ou tout autre nombre. Cette étape est l'initialisation.
    La seconde étape est l'hérédité. Beaucoup plus délicate, elle consiste à montrer que SI la propriété est vraie pour un entier n quelconque à partir de a, ALORS elle est également vraie pour n + 1.
    Si on peut montrer ces deux étapes, alors on a montré que la propriété est vraie pour tout entier à partir de a. Pourquoi ça marche ? L'astuce réside dans l'hérédité. L'hérédité montre que « si la propriété est vraie pour n (n plus grand ou égal à a), alors elle est vraie pour n+1 ». Mais elle montre aussi que « si la propriété est vraie pour n+1, alors elle est vraie pour n+2 », et également que « si la propriété est vraie pour n+2, alors elle est vraie pour n+3 » et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Autrement dit, l'hérédité montre en fait que « si la propriété est vraie pour a, alors elle est vraie pour tout entier supérieur à a ». Si on peut rajouter l'initialisation, c'est-à-dire « la propriété est vraie pour a », alors on a bien montré, en combinant les deux, que « la propriété est vraie pour tout entier à partir de a ».
    Des exemples de démonstrations par récurrence sont les
    formules des sommes des puissances. Démontrons par exemple la première : 0 + 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2. On commence par l'initialisation : la formule devant être montrée pour tout entier naturel, on commence à 0. On vérifie l'égalité : D'un côté, on a 0. De l'autre côté, on a 0.(0+1)/2, soit 0. La formule est vraie pour 0 (on a initialisé).
    Puis vient l'hérédité : on suppose que la formule est vraie pour un certain x entier. On a 0 + 1 + ... + x = x(x+1)/2.
    Alors 0 + 1 + ... + x + (x+1) = x(x+1)/2 + (x+1) = x(x+1)/2 + 2(x+1)/2 = ((x+1)/2).(x+2) = (x+1)(x+2)/2.
    Donc si la propriété est vraie pour x, alors elle est vraie pour x+1 : c'est l'hérédité. On a l'hérédité et l'initialisation donc pour tout entier naturel, la formule est vraie. Il est très important pour que la récurrence soit valable de l'initialiser au bon endroit. Pour en voir une preuve, voyez la page
    Tous alignés. Il est également important d'appliquer correctement l'hypothèse de récurrence, notamment en vérifiant les hypothèses qu'elle demande (illustration ici).
    VI) Le refus de l'absurde
    La logique est elle-même une théorie mathématique, en fait la plus fondamentale puisque toutes les autres l'utilisent. On y définit donc des objets (les propositions, les théorèmes, les hypothèses, le vrai, le faux, ...) et des axiomes. Comme dans toute théorie, ces axiomes sont censés formaliser quelqu'un chose dont on pense que ça ne peut qu'être vrai. Par exemple, un axiome important est celui qu'on appelle « principe du tiers exclus » : un énoncé est vrai ou faux. C'est en fait par égard à ce principe que la logique usuelle est dite « binaire ».
    Et si vous réfléchissez bien, la démonstration par contraposition et celle par l'absurde dont j'ai parlé découlent de ce principe du tiers exclus. En fait, comme elles découlent de ce même principe, plusieurs mathématiciens ne considèrent pas l'absurde et la contraposition comme deux principes différents, mais comme un seul. Là où les choses se compliquent, c'est que certains mathématiciens se sont interrogés sur les théorèmes qui restent vrais sans ce principe de tiers exclus et ont ainsi créé l'« analyse constructive ». Ainsi, ils ne considèrent plus comme valables les démonstrations par l'absurde...
    S'il y a eu de grands débats à l'époque entre ce point de vue et celui qui prédomine actuellement, on peut dire que la logique « classique » a gagné la guerre. Ce qui n'empêche pas l'analyse constructive d'être toujours étudiée, car il peut être intéressant de savoir quels résultats en découlent ou non.


    ==> On y trouve Les differentes façons de démonstration, Et je toruve Que c'est bien expliquer Very Happy

    By KikoO

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